Datum28.06.2026 19:58

Quellewww.spiegel.de

TLDRBei einem Spiel mit 19 schwarzen und einer weißen Kugel, bei dem zwei Spieler abwechselnd ziehen, sind die Gewinnchancen für den ersten und zweiten Spieler gleich (je 50%). Ein verbreiteter Denkfehler ist, dass der zweite Spieler bessere Chancen hat, da weniger Kugeln übrig sind. Die bedingte Wahrscheinlichkeit berücksichtigt jedoch, dass auch der erste Spieler die weiße Kugel ziehen könnte. Ein alternativer Beweis zeigt, dass jede Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Position liegen kann, wodurch die Chancen für gerade und ungerade Positionen (und damit für die Spieler) ausgeglichen sind.

InhaltZwei Personen nehmen abwechselnd je eine Kugel aus einem Sack. Eine davon ist weiß, die 19 anderen sind schwarz. Ist es besser, die erste Kugel zu ziehen oder die zweite? Dieser Artikel gehört zum Angebot von SPIEGEL+. Sie können ihn auch ohne Abonnement lesen, weil er Ihnen geschenkt wurde. Glück hilft, um ein Spiel zu gewinnen. Aber eine gute Strategie ist auch wichtig. Und die ist beim folgenden Spiel gesucht. Zwei Personen ziehen abwechselnd je eine Kugel aus einem Sack. Alle 20 Kugeln darin fühlen sich gleich an. Preisabfragezeitpunkt 28.06.2026 19.59 Uhr Keine Gewähr Aber die Kugeln unterscheiden sich: 19 sind schwarz lackiert und eine ist weiß. Wer die weiße Kugel zieht, hat gewonnen. Eine der beiden Personen hat den ersten Zug, die andere den zweiten. Wenn man die Wahl hätte: Wäre es dann besser, die erste Kugel aus dem Sack zu ziehen? Oder sind die Gewinnchancen höher, wenn man den zweiten Zug hat? Es ist egal, ob man die erste Kugel zieht oder die zweite. Die Gewinnchancen für beide Spieler sind gleich groß und betragen 50 Prozent. Ein klassischer Denkfehler bei dieser Knobelei ist der folgende: Die beginnende Person zieht mit p=1/20 die weiße Kugel. Bei der zweiten Person beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/19 (was nicht stimmt!), deshalb hat sie die höheren Gewinnchancen. Die Wahrscheinlichkeit für Person eins ist richtig berechnet. Bei Person zwei gibt p=1/19 jedoch die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel an unter der Bedingung, dass Person eins die weiße Kugel nicht gezogen hat. Wir müssen diese bedingte Wahrscheinlichkeit deshalb noch mit 19/20 multiplizieren. Und dann erwischt auch Person zwei mit p = 1/19 * 19/20 = 1/20 die weiße Kugel. Die Wahrscheinlichkeiten, dass eine der beiden Personen in Runde eins die weiße Kugel bekommt, sind daher gleich groß. Und das gilt dann analog auch für Runde zwei, drei, vier ... bis zur letzten Runde, der zehnten. Ein eleganter Beweis dafür, dass beide Spieler mit gleich großer Wahrscheinlichkeit gewinnen, ist der folgende: Stellen wir uns vor, die 20 Kugeln werden zufällig in eine Reihe gelegt und die beiden Spieler nehmen dann beginnend von ganz vorn immer die nächste Kugel. Wir nummerieren die Kugeln durch von 1 (ganz vorn) bis 20 (ganz hinten). Welche Nummer hat die weiße Kugel? Weil wir die Kugeln zufällig in eine Reihe gelegt haben, hat jede Position eine gleich große Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Nummer ist genauso groß wie für eine ungerade – in beiden Fällen beträgt sie p=1/2. Und deshalb gewinnen beide Spieler mit p=1/2. Entdeckt habe ich dieses Rätsel im Instagram-Kanal  des US-Mathematikers Marc Ordower  . Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen: Preisabfragezeitpunkt 28.06.2026 19.59 Uhr Keine Gewähr