Datum08.06.2026 21:24

Quellewww.spiegel.de

TLDREine periodische Dezimalzahl mit der Periode 123456789 kann als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Dies ist möglich, da periodische Dezimalzahlen immer rationale Zahlen sind. Die Zahl 0,123456789... lässt sich beispielsweise als 123.456.789/999.999.999 schreiben, gekürzt zu 13.717.421/111.111.111. Jede periodische Dezimalzahl kann durch diesen Trick in einen Bruch x = p/(10^n - 1) umgewandelt werden.

InhaltBei einer reellen Zahl folgen nach dem Komma die Ziffern 123456789. Diese wiederholen sich unendlich oft. Lässt sich diese periodische Zahl als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen? Dieser Artikel gehört zum Angebot von SPIEGEL+. Sie können ihn auch ohne Abonnement lesen, weil er Ihnen geschenkt wurde. Es gibt rationale Zahlen, reelle Zahlen, irrationale Zahlen, periodische Zahlen. In dieser auf den ersten Blick unübersichtlichen Gemengelage ist das folgende Rätsel angesiedelt. Gegeben ist eine reelle Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Vor dem Komma steht eine Null, danach folgen die Ziffern 123456789 – nicht nur einmal, sondern unendlich oft – siehe Abbildung oben. Preisabfragezeitpunkt 08.06.2026 21.25 Uhr Keine Gewähr Es handelt sich also um eine periodische Dezimalzahl. Die Frage ist, ob diese Zahl auch eine rationale Zahl ist. Sie müsste dann als Bruch zweier ganzer Zahlen a, b darstellbar sein: a/b = 0,123456789123456789... Hat diese Gleichung eine ganzzahlige Lösung? Ja, die periodische Dezimalzahl ist zugleich eine rationale Zahl und lässt sich wie folgt als Bruch aufschreiben: 0,123456789... = 123.456.789/999.999.999 Wir können Zähler und Nenner noch um den Faktor 9 kürzen: 0,123456789... = 13.717.421/111.111.111 Entscheidend ist die Division durch eine ausschließlich aus Neunen bestehende Zahl. Mit diesem Trick lässt sich jede beliebige periodische Dezimalzahl als gebrochene, das heißt rationale Zahl darstellen. Warum funktioniert das? Nehmen wir an, die periodische Zahl x hat vor dem Komma eine Null – so wie in unserem Beispiel. Die Periodenlänge beträgt n. Und die natürliche Zahl p besteht genau aus den n Ziffern der Periode. Dann gilt (in salopper Schreibweise): x = 0,pppp... Diese Gleichung multiplizieren wir nun mit 10n und erhalten: 10n * x = p + x Von der rechten Seite rutschen durch die Multiplikation mit 10n die n Ziffern von p auf die linke Seite des Kommas. Rechts vom Komma stehen weiterhin unendlich oft die n Ziffern von p hintereinander – die Periode. Wenn wir die Gleichung 10n * x = p + x nach x umstellen, erhalten wir: x = p/(10n – 1) p und 10n – 1 sind die gesuchten ganzen Zahlen a und b. 10n – 1 entspricht genau der aus n Neunen bestehenden natürlichen Zahl. Womit wir bewiesen haben, dass der Trick mit den Neunen im Nenner funktioniert, um eine periodische Zahl mit der Periode p als Bruch darzustellen. Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen: Preisabfragezeitpunkt 08.06.2026 21.25 Uhr Keine Gewähr