Datum16.08.2026 07:06

Quellewww.spiegel.de

TLDREin rechtwinkliges Dreieck mit einer bekannten Kathete von 18 soll gefunden werden, bei dem alle Seiten ganzzahlige Längen haben. Mithilfe des Satzes des Pythagoras und der Faktorisierung von 324 ergeben sich zwei mögliche Lösungen für die anderen Seiten: (24, 30) und (80, 82).

InhaltBei einem rechtwinkligen Dreieck entsprechen alle drei Seitenlängen natürlichen Zahlen. Wir kennen die Länge einer Kathete. Wie lang sind dann die beiden anderen Seiten? Dieser Artikel gehört zum Angebot von SPIEGEL+. Sie können ihn auch ohne Abonnement lesen, weil er Ihnen geschenkt wurde. Zwei Unbekannte können in der Mathematik eine unlösbare Herausforderung darstellen. Aber ich möchte Sie nicht entmutigen: Bei der folgenden geometrischen Knobelei gibt es einen Lösungsweg. Es geht um ein rechtwinkliges Dreieck. Wir kennen die Länge einer Kathete – diese beträgt 18 (siehe Abbildung oben). Preisabfragezeitpunkt 16.08.2026 07.07 Uhr Keine Gewähr Wir wissen außerdem, dass auch die anderen beiden Seiten des Dreiecks eine ganzzahlige Länge haben. Finden Sie alle Lösungen! (Alle Seitenlängen sollen größer als Null sein!) Es existieren zwei Lösungen: 30 und 24 sowie 80 und 82. Wir nutzen den Satz des Pythagoras und eine binomische Formel. Mit a bezeichnen wir gesuchte Länge der zweiten Kathete des Dreiecks und mit c die Länge der Hypotenuse. Dann gilt: c2 = 182 + a2c2 – a2 = 182 (c – a)*(c + a) = 182 (c – a)*(c + a) = 324 Weil a und c ganzzahlig sind, sind auch (c – a) und (c + a) ganze Zahlen. Ihr Produkt ist 324. Deshalb müssen (c – a) und (c + a) aus den Primfaktoren von 324 gebildet werden. Die Primfaktorzerlegung von 324 lautet: 324 = 22 * 34 Die Summe der beiden Faktoren (c – a) und (c + a) ist 2c, muss also eine gerade Zahl sein. Das ist nur möglich, wenn entweder (c – a) und (c + a) beide ungerade oder beide gerade sind. Unter den Primfaktoren von 324 befinden sind zwei Zweien. Das bedeutet, dass immer mindestens einer der beiden Faktoren (c – a) und (c + a) gerade ist. Woraus folgt, dass beide gerade sein müssen – siehe vorheriger Absatz. Da das Produkt der beiden Faktoren genau zwei Zweien enthält und beide Faktoren gerade sein müssen, erhält jeder Faktor genau eine Zwei. In (c – a) und (c + a) muss daher jeweils der Primfaktor 2 stecken. Nun müssen wir nur noch alle Varianten anschauen, wie die vier Dreien über (c – a) und (c + a) verteilt werden können. Weil (c – a) nicht größer ist als (c + a), gibt es nur folgende drei Möglichkeiten: Die dritte Variante entfällt, weil dann a Null sein muss. Bei der ersten Kombination erhalten wir c = 82 und a = 80. Die zweite Variante führt zur Lösung c = 30 und a = 24. Die Idee zu diesem Rätsel stammt vom YouTube-Kanal "Herr Mathe" . Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen: Preisabfragezeitpunkt 16.08.2026 07.07 Uhr Keine Gewähr